# 概率

# 1.随机变量

# 1.1 离散随机变量

比如扔一个质地均匀的色子，产生的结果就是一个离散随机变量，，离散随机变量中的每一个可能的值都对应一个概率，对于扔色子这个例子，,所有离散随机数值的概率之和为

# 1.2 连续随机变量

计算机中产生一个[0,1]之间的随机函数rand()，在不考虑浮点数精度时，就是一个连续的随机变量

# 2. 概率分布函数(CDF)

# 2.1 定义

衡量一个随机数的概率分布规律的两个重要函数，概率分布函数(cumulative distribution function)用来定义概率累计的结果

其中函数表示某事件发生的概率，也就是说表示随机变量小于的概率

# 2.2 举例

比如对于一个在[a,b]之间概率均匀分布的随机变量

特别的，一个在[0,1]之间均匀分布的随机变量的概率分布函数

# 2.3 特性

为单调上升的右连续函数

# 3. 概率密度函数(PDF)

# 3.1 定义

对于连续性随机变量，其概率分布函数可以表达成函数的积分

称为随机变量的概率密度函数，可以理解为随机变量出现在区间之间的概率为

# 3.2 特性

# 3.3 举例

对于均匀分布在[a,b]之间的随机变量，有

正态分布

# 4. 期望值

# 4.1 定义

对于离散随机变量，定义期望值

对于连续型随机变量，定义期望值

比如对于扔色子的结果

对于标准正态分布

# 4.2 特性

如果是常量，那么

# 5. 大数定理

对于随机变量，获取其序列值，当时，其平均值趋近于期望值

# 6. 蒙特卡洛积分法

# 6.1 定义

想求一个函数在[a,b]区间的定积分

定义一个随机数序列，在[a,b]区间的概率密度函数为,定义

那么序列也是一组随机数序列，其期望值

根据大数定理

所以

# 6.2举例

比如需要计算

设随机变量在[0,2]区间均匀分布，那么,那么

用Mathmatica模拟

# 7. 采样函数

计算机中生成的随机数一般是概率均匀分布的随机变量，一般用表示均匀分布在[0,1]之间的随机变量，如果一个随机变量的概率密度函数为，概率分布函数为，那么产生随机变量的采样函数为概率分布函数的反函数

# 7.1 证明

随机变量有一个很重要的特性

随机变量的概率的分布函数肯定是单调递增函数，所以它的反函数也一定是单调递增函数，所以

# 7.2 举例

比如想产生一个随机点，均匀分布在一个半径为R的圆内，设产生的随机点的极坐标为，那么的概率分布函数

所以产生随机点的采样函数为

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