群(Group)

---

群的定义

群(Group (opens new window))是一个对象集合G，并且包含了一种运算○，定义如下

集合和运算构成，一起成为群，前提时满足下面的条件

1. 封闭律：，有
2. 结合律：，有
3. 单位元律：存在唯一元素，使得，均有，元素成为单位元
4. 可逆律：，存在，使得，其中称为的逆元

在表示群时，通常省略运算符号，用表示

阿贝尔群

如果群中的元素满足交换律，也就是对所有的,均有,那么该群称为阿贝尔群（Abelian group (opens new window))

重复运算的简化

令是运算下的一个群，那么对于任一元素，非负整数, a和自己做i次运算,可以表达为, ，对于加法群，

常用群

1. 整数群: 整数集在加法下的群，其中,同样
2. 有理数群: 可以表达为两个整数的商的数称为有理数群，用表示，其他还有自然数群, 实数群，复数群，在加法运算下
3. 整数模n加法群: 对于任意，表示所有整数模n的集合，完整表示为，单位元，逆元
4. 整数模n乘法群(Multiplicative group of integers modulo n (opens new window)) : 中所有与n互质的元素构成一个有限乘法群，这里的乘法指模n乘法，用表示，例如
   1. 如果p是质数，那么
   2. 如果是质数，，那么根据欧拉定理里元素的个数为