我的学习笔记

# 几何变换（一）

# 1. 线性变换

# 1.1 定义

假设有某种数学函数，输入矢量，输出的仍然是一个矢量，且满足以下条件

那么定义为线性变换

# 1.2 举例

比如就不是线性变换，因为不满足第二条

# 1.3 使用矩阵表示

一般使用矩阵表示一个线性变换，设一个三维矢量，那么对其做线性变换

# 2. 缩放变换

# 2.1 定义

定义放缩变换为

用矩阵表示

# 3. 旋转变换

以右手坐标系为例

# 3.1 正方向约定

描述一个旋转角度时，一般约定沿着坐标轴负方向向原点看，逆时针为正方向

# 3.2 围绕标准轴旋转

# 3.2.1 结果

围绕轴旋转的旋转矩阵

# 3.2.2 求解过程

以为例

标准矢量经过旋转后，结果为

所以根据公式1.3.1

# 3.3 围绕任意轴

# 3.3.1 结果

有穿过原点单位轴

求围绕该轴旋转的旋转矩阵

# 3.3.2 求解过程


将矢量分解成两个矢量的和，一个是平行于的分量和垂直于的分量

由于是单位矢量，，所以

所以根据公式3.3.2.1，和同方向，且长度和相等，所以

由于不受旋转影响，所以

可以分解成两部分，一部分是平行于的分量另一部分是垂直于的分量，联合公式3.2.2.2

代入3.3.2.4可以得到

这个公式称为罗德里格旋转公式Rodrigues' rotation formula (opens new window),使用以下方法得到其矩阵形式

# 3.3.3 一般形式

根据矢量三重积公式，可以得到

所以

使用向量的叉乘矩阵来代替叉乘，这里记矩阵为向量的叉积矩阵

使用矩阵形式表达罗德里格旋转公式

所以矩阵形式的罗德里格旋转公式的公式为

# 3.3.4 三维行列式

设分别将带入3.3.2.6，得到

代入公式1.3.1得到

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