几何变换（二）

---

4. 仿射变换

4.1 齐次坐标(Homogeneous Coordinates)

4.1.1 定义

齐次坐标就是将一个原本是n维的向量或者一个n维的点用一个n+1维坐标来表示，例如二维点,用表示，它等同于笛卡尔坐标系中的

4.1.2 齐次的含义

笛卡尔坐标，等同于齐次坐标，所以称作该坐标是"齐次"，Homogeneous一词有“同质”的含义，译作同质坐标可能更准确一些

4.1.3 点和矢量

在图形学中，一般用表示一个二维矢量，用表示一个二维点。 这样可以保证矢量的“平移不变性”，也就是一个矢量经过平移变换，仍然保持和原先一致。

两个矢量的和或者差仍然是一个矢量，而两个点的差也是矢量，点和矢量的和或者差也是矢量

其次坐标表示的两个点的和也是有意义的，表示两个点的中点

4.2 齐次矩阵表达

4.2.1 线性变换无法表示图形学中所有的几何变换，因此需要定义一种变换为

用矩阵表达为

常用4X4齐次矩阵来做这种运算

5. 平移变换

5.1 定义

空间中的某一点，移动到，那么用齐次矩阵表示这个变换为

6. 组合变换

6.1 定义

图形学中将所有变换统一使用4X4的齐次坐标组合

这样，一系列变换可以组合到一个矩阵中完成

6.2 坐标系变换

一个物体在不同坐标系中的变换，比如常用的局部坐标系到世界坐标系的变换

设新坐标系x'y'z'的原点在原坐标系的处，新坐标系的单位坐标矢量在原坐标系中的矢量为，那么将物体的坐标从原先坐标系xyz转换到新坐标系x'y'z'的转换可以分为两部分

6.2.1 平移矩阵

构建平移矩阵，目的是将物体在原坐标系中的坐标做一个偏移，这个偏移可以视作将物体和新坐标系一起移动，将新坐标系的原点挪到原坐标系的原点处，可以得到

6.2.2 构建旋转矩阵

接下来要构建一个旋转矩阵，目的是将片以后的物体坐标和新坐标系旋转到和原坐标系一致，也就是经过这个矩阵，可以将新坐标系中的轴旋转到原坐标系的轴，也就是:

同理，也需要将轴旋转到轴，轴旋转到轴

这个矩阵并不好直接写出，但是它的逆矩阵就比较容易，也就是能够将写出

这个矩阵满足

由于这是一个正交矩阵，所以

6.2.3 组合后的坐标转换矩阵

验证