微平面理论(二)

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6. 法线分布函数详解

6.1 归一化约束

所有的法线分布函数都应该符合以下约束

可以理解为，这些为平面在某个指定方向上的投影面积，等于整体宏平面的投影面积

当时，有

6.2 Phong

Phong模型认为，反射强度正比于，其中表示材质的“光滑程度”，当，材质是绝对的漫反射材质，当，材质成为绝对光滑的镜面，设

由上面法线分布函数的归一性可知

由于

可以得到最终D函数为

一般引擎用粗糙度（取值范围[0,1])表示材质的光滑程度，Phong模型中的常用如下公式计算

用Mathmatica绘制函数图

6.3 Beckmann

Beckmann的法线分布函数为

经过积分计算，所以

Beckmann法线分布函数中，同样代表了材质的粗糙度，趋向于0时表示绝对光滑，取值却大约粗糙，但当取值超过1时，材质会变得“超级粗糙”（诡异），用如下公式获取

当取值在0.5以下时，Beckmann模型和Phong模型的结果非常相似，这两个参数可以有如下对应关系

6.4 Trowbridge-Reitz(GGX)

这个模型又被称为GGX模型，是UnrealEngine采用的法线分布函数

经过积分，所以

在Mathmatica中的模拟


可以看出，当趋向于0，表示材质越光滑，当时，GGX称为一条直线，也就是纯粹的漫反射材质，当，GGX模型的表现类似于Beckmann，表现出“超级粗糙”特性。
和Phong模型比较，可以看出在粗糙度小于0.4时，ggx和phong模型比较类似，当粗糙度大于0.4时，ggx的表现更“平顺”一些，高光中心更集中，但长尾区域更长。


在Unreal实现中，定义了， roughness是用户输入的材质粗糙度，范围在[0,1]之间